大学初年度で習う数学を一本の流れで解説していきます。日々追加していきますので、少々お待ちください。
線型代数学①
線型代数学の初歩
行列
- 行列の基礎
- 行列の基礎_行列の積の意味
- 行列の基本変形・rank(ランク)
- 階数標準形の一意性・ブロック行列
- 逆行列の求め方（掃き出し法）
- 一次方程式①（掃き出し法）
- 一次方程式②（解の存在と解の構造）
行列式
- 行列式の意味(体積、体積拡大率、面積、面積拡大率)と計算（サラスの公式、余因子展開）
- 演習
- スカラー積（内積）とベクトル積（外積）
- 演習
- 余因子行列と逆行列(クラメルの公式)
- 演習
微積分学①
実数列と連続関数
- εーN論法と数列、級数の収束
- εーδ論法と連続関数、一様収束
- べき級数（連続性、一様収束性）
実関数の微分
- 微分の定義と具体例（べき級数、収束半径）
- ロルの定理→平均値の定理→コーシーの平均値の定理→テーラー展開
- テーラー展開とテーラー近似
- \(\sin x, \cos x, e^x \)の数学的な定義
- 派生した関数など
実関数の積分
- リーマン積分の大枠
- 多項式、三角関数、有理式、三角関数の有理式
- 無理式
線型代数学②
\(\mathbb K\) 上の線型空間
\(\mathbb K\) が一般の体の時
- 線型空間の基礎
- 演習
- 固有値・固有ベクトル
- 演習
\(\mathbb K\) が代数閉体の時
- 三角化
- 演習
- 対角化の一般論
- 演習
- ジョルダン標準形
- 演習
\(\mathbb C\) 上の内積空間
- \(\mathbb C\) 上の内積空間の基礎
- エルミート行列・エルミート変換・ユニタリー行列・ユニタリー変換
- エルミート行列のユニタリー行列による対角化
- 演習
- 正規行列と正規変換
- 正規行列のユニタリー行列による対角化
- 演習
- 正規変換のスペクトル分解
\(\mathbb R\) 上の内積空間
- \(\mathbb R\) 上の内積空間の基礎
- 対称行列・対称変換・直交行列・直交変換
- 対称行列の直交行列による対角化
- 演習
- 対称変換の正射影分解
微積分学②
多変数関数の微分
- 方向微分・偏微分・\(\mathrm{grad}\)(勾配)
- 多変数関数の微分の意味
- 極大極小
- ヘッセ行列
- 合成関数の偏微分（チェーンルール）
注意：「多変数ベクトル値関数の微分」の「チェーンルール」を先に見てください
ベクトル値関数の微分
- ベクトル値関数の微分の意味
多変数ベクトル値関数の微分
- 多変数ベクトル値関数の微分の意味
- 合成関数の微分とチェーンルール
- 座標変換とヤコビアン
多変数関数の積分
- スカラー場の線積分
- スカラー場の面積分
- スカラー場の体積積分
ベクトル値関数の積分
- ベクトル場の線積分
多変数ベクトル値関数の積分
- ベクトル場の面積分
- \(\mathrm{rot}\)とストークスの定理
- \(\mathrm{div}\)とガウスの定理
微分方程式論のスタート
線型常微分方程式
- 一階線型常微分方程式（定数・変数係数）
- \(n\)階線型微分方程式（定数係数）
- \(n\)階線型微分方程式（変数係数）
線型でない常微分方程式
- 解の存在や一意性の感覚的な理解
- 変数分離形
- 同次系
- 全微分形
複素関数論のスタート
- 複素関数の具体例
- 複素微分と正則性
- 複素線積分
- コーシーの積分定理
- ローラン展開
- 留数定理
- 計算練習
統計学のスタート
- 統計学の大枠
- 確率変数・確率密度・確率・期待値・分散（離散）
- 確率変数・確率密度・確率・期待値・分散（連続）
- 基本的な分布
- ベルヌーイ分布
- 二項分布
- 正規分布
- ポアソン分布
- \(\chi^2 \)分布
- 相関係数
- 中心極限定理と正規分布の性質
- 推定
- 信頼区間
- 点推定
- 区間推定
- 検定