解析学
解析学：実数の連続性
- デデキントの切断
実数の連続性をデデキントの切断にて定義。ここをスタートとする。
- 上に有界な単調増加列
デデキントの切断から上に有界な単調増加列の収束につなげる。
- ネイピア数の定義
ネイピア数 \(e=\lim_{n \rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n\) の収束を示す。これは良質な例である。さらに、次の級数の話へとつなげる。
- 連続性の公理たち
デデキントの切断、有界単調列の収束、コーシー列の収束とアルキメデスの原理、上限公理、区間収縮法とアルキメデスの原理、ボルツァーノワイエルシュトラスの定理といった連続の公理たちの同値性に触れる。
- R^nの部分集合
- 開集合と閉集合（内点全体、触点全体、触点の性質（点列の収束先））
- 点列コンパクト（閉区間が例）
- 有界閉は点列コンパクト（ボルツァーノ・ワイヤストラス）
（点列コンパクトに含まれる閉部分集合は点列コンパクト） - 点列コンパクトは有界閉
- 有界閉集合はコンパクト（ハイネ・ボレル）
- コンパクトは有界閉集合
- 連続関数
最大値の定理（閉区間の連続像は有界閉区間）
- 連結集合
中間値の定理
- 級数
- べき級数
- 収束半径
- 連続関数
- 最大値の定理